Mittelwert
M
Unter dem Mittelwert (Durchschnittswert) zweier oder mehrerer Zahlen versteht man im allgemeinen das arithmetische Mittel aus allen zu berücksichtigenden Zahlenwerten. Dabei wird die Summe aller Einzelwerte durch die Gesamtzahl der Werte dividiert.
Verdienen also etwa drei Angestellte eines Unternehmens pro Monat € 1.200,--, € 1.800,-- und € 2.100,--, so erhält man als Mittel- (Durchschnitts-)wert einen monatlichen Bezug von € 1.700,--.
Liegt jedoch das Gehalt von fünf Arbeiter*innen dieses Unternehmens jeweils (oder auch durchschnittlich) bei € 945,-- und jenes von vier Angestellten bei jeweils (oder durchschnittlich) bei € 1.350,--, so muss für die Berechnung eines durchschnittlichen Monatsgehaltes aller (fünf plus vier gleich neun) Arbeitnehmer*innen das Verhältnis der beiden Gruppen
Arbeiter*innen : Angestellte = 5 : 4
berücksichtigt werden.
Das Ergebnis € 1.125,-- erfolgt daher in diesem Fall durch die
Bildung des gewogenen arithmetischen Mittels.
Eine weitere Anwendung des gewogenen arithmetischen Mittelwertes
ergibt sich bei folgender Problemstellung:
In einem Betrieb beträgt das durchschnittliche Gehalt der Männer pro Monat € 1.600,-- und jenes der Frauen € 1.100,--.
Wie hoch ist der Prozentsatz der männlichen bzw. weiblichen Angestellten, wenn das "mittlere" Einkommen aller Angestellten dieses Betriebes bei € 1.450,-- liegt ?
Hier ist neben der Anwendung des gewogenen arithmetischen Mittels auch folgender Lösungsweg denkbar:
Der Gesamtdurchschnittswert 1450 teilt den Wertebereich [1100; 1600] im Verhältnis 7 : 3, weshalb der Anteil der männlichen Angestellten bei 70 % und jener der weiblichen Angestellten bei 30 % liegen muss.
Ist der Durchschnittswert von zwei oder mehreren relativen Größen (also prozentuellen Änderungsraten) zu berechnen, so wird das geometrische Mittel verwendet.
Kann ein Unternehmen seine jährliche Absatzzahl nach einem Jahr um 4 %, nach einem weiterem Jahr um 2 % und nach einem weiteren Jahr um 9 % steigern, so beträgt das durchschnittliche Wachstum der Absatzzahlen (übrigens: unabhängig von der Reihenfolge der einzelnen Steigerungsraten) nicht 5 %, sondern rund 4,959 %.
Nun sei noch auf das harmonische Mittel zweier oder mehrerer Zahlen, welches bei indirekt proportionalen Größen (z.B. Geschwindigkeit und Zeit einer nicht beschleunigten Bewegung) unter bestimmten Voraussetzungen verwendet werden muss, hingewiesen:
Ein Radfahrer, der einen Berg mit 20 km/h hinauf- und mit 60 km/h hinabfährt, erreicht "nur" eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 30 km/h.
Die Ursache für die Abweichung vom (vielleicht intuitiven) "Durchschnittswert" 40 km/h liegt in den unterschiedlichen Fahrzeiten, mit denen der Radfahrer den Berg hinauf- bzw. hinabfährt.
Hier ein Überblick, wenn der Radfahrer jeweils eine Strecke von 30 km zurücklegt:
| Weg (in km) | 30 | 30 |
| Geschwindigkeit (in km/h) | 20 | 60 |
| Zeit (in h) | 1,5 | 0,5 |
Wird also eine Gesamtstrecke von 60 km in einer Gesamtzeit von 2 Stunden zurückgelegt, hat beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit genau 30 km/h. Dieser Wert entspricht dem harmonischen Mittelwert der beiden Zahlen 20 und 60.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist dabei übrigens von der jeweiligen Streckenlänge unabhängig, wie die Berechnungen in der Randspalte zeigen.
Allgemein kann die Abweichung des harmonischen Mittelwertes vom arithmetischen Mittelwert in diesem Fall wie folgt beschrieben werden:
Wird eine Hälfte eines Weges mit der Geschwindigkeit v + x und die andere Hälfte mit der Geschwindigkeit v − x gefahren, so weicht die durchschnittliche Geschwindigkeit (v2 − x2) ÷ v vom arithmetischen Mittelwert v um den Betrag x2 ÷ v ab.
Dies bedeutet, dass ein Radfahrer, der mit einer Geschwindigkeit von v = 25 km/h die erste Hälfte eines Weges mit einem Rückenwind von x = 10 km/h und die zweite eines Weges mit einem Gegenwind von x = 10 km/h fährt, eine um 4 km/h geringere Durchschnittsgeschwindigkeit besitzt.
Die unterstützende Wirkung des Rückenwindes und die hemmende Wirkung des Gegenwindes heben sich also nicht auf.
Je größer also die Differenz der beiden Geschwindigkeiten v − x und v + x ist, desto stärker ist die Abweichung der durchschnittlichen Geschwindigkeit (des harmonischen Mittelwertes) vom arithmetischen Mittelwert.
Damit gilt für die Praxis: Man sollte anstelle häufig wechselnder Tempi nach Möglichkeit mit konstanter Geschwindigkeit fahren.
Ganz anders ist die Situation, wenn der oben zitierte Radfahrer genau eine Stunde (mit 20 km/h) bergauf und genau eine Stunde (mit 60 km/h) bergab fährt. In diesem Fall erhält man folgende Tabelle:
| Weg (in km) | 20 | 60 |
| Geschwindigkeit (in km/h) | 20 | 60 |
| Zeit (in h) | 1 | 1 |
Hier muss die Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes erfolgen, denn es gilt:
(20 ⋅ 1 + 60 ⋅ 1) ÷ 2 = 40
Das folgende Beispiel vergleicht beide Berechnungsmethoden, wenn alle Werte der Tabelle verschieden sind:
Vier Student*innen arbeiten neben ihrem Studium. Die folgende Tabelle zeigt einen ersten Überblick:
| Wochenverdienst (in €) | 180 | 270 | 300 | 380 |
| Stundenlohn (in €/h) | 18 | 15 | 20 | 19 |
Wie hoch ist der durchschnittliche Verdienst, den die vier Student*innen pro Stunde erhalten ?
Die Berechnung des durchschnittlichen Stundenlohnes mit Hilfe des arithmetischen Mittels führt nicht zum gewünschten Ergebnis, da in diesem Fall die unterschiedlichen Arbeitszeiten nicht berücksichtigt werden.
Um dies zu ermöglichen, wird die Tabelle um die Zeile "Zeit (in h)" ergänzt:
| Wochenverdienst (in €) | 180 | 270 | 300 | 380 |
| Stundenlohn (in €/h) | 18 | 15 | 20 | 19 |
| Zeit (in h) | 10 | 18 | 15 | 20 |
Nun gilt für die Berechnung des durchschnittlichen Stundenlohnes:
(180 + 270 + 300 + 380) ÷ (10 + 18 + 15 + 20) = 17,94 €/h
Der durchschnittliche Verdienst, den die vier Student*innen pro Stunde erhalten, beträgt somit 17,94 €/h.
Der gesuchte Wert kann übrigens auch mit Hilfe des (gewogenen) arithmetischen Mittels berechnet werden, allerdings müssen in diesem Fall die Werte der beiden Zeilen "Stundenlohn (in h)" und "Zeit (in h)" verwendet werden. Die Berechnung lautet dann:
(18 ⋅ + 15 ⋅ 18 + 20 ⋅ 15 + 19 ⋅ 20) ÷ (10 + 18 + 15 + 20) = 17,94 €/h
Zum Schluss noch ein Beispiel, das vermutlich durchaus etwas Interpretationsspielraum zulässt.
Ein Landwirt hat zwei gleich große Anbauflächen für Spargel. Auf der einen Fläche erwirtschaftet er einen Ertrag von 33 kg/Ar, auf der anderen einen Ertrag von 38 kg/Ar. Welche Fläche wird im Schnitt benötigt, um 1 kg Spargel zu ernten ?
Aufgrund des ersten Satzes hat der Bauer zwei gleich große Anbauflächen, d.h. es kann z.B. folgende Tabelle angefertigt werden:
| Menge (in kg) | 33 | 38 |
| Ertrag (in kg/Ar) | 33 | 38 |
| Fläche (in Ar) | 1 | 1 |
Der Landwirt erntet somit auf einer Gesamtfläche von 2 Ar eine Gesamtmenge von 71 kg Spargel. Dies rechtfertigt die Verwendung des arithmetischen Mittels, denn des gilt:
(33 + 38) ÷ 2 = 35,5 kg/Ar
Die Fragestellung richtet allerdings das Augenmerk auf eine Menge von 1 kg Spargel. Dies erfordert ein Umformen der gegebenen Tabelle auf die folgende Gestalt:
| Menge (in kg) | 1 | 1 |
| Ertrag (in kg/Ar) | 33 | 38 |
| Fläche (in Ar) | 1 ÷ 33 | 1 ÷ 38 |
Die Tabelle zeigt, dass unter dieser Voraussetzung auf beiden Anbauflächen die gleiche Menge geerntet wird. Somit muss für die Berechnung des durchschnittlichen Ertrages das harmonische Mittel verwendet werden, denn es gilt:
(1 + 1) ÷ (1 ÷ 33 + 1 ÷ 38) = 35,32 kg/Ar
Der Landwirt kann also in diesem Fall mit einem durchschnittlichen Ertrag von 35,32 kg/Ar rechnen.