Logische Fortsetzung


In vielen Rätselecken findet sich die Zahlenreihe
1
2
4
?
verbunden mit der Fragestellung, welche Zahl an Stelle des Fragezeichens "logischerweise" einzusetzen ist.

Bei den meisten Zahlenrätseln wird im allgemeinen folgende Begründung gegeben:
Die Reihenfolge der Zahlen gehorcht einer bestimmten Funktionsgleichung, in die die natürlichen Zahlen − meist mit 1 beginnend − fortlaufend eingesetzt werden.
Für die logische Fortsetzung der eingangs zitierten Zahlenreihe <2, 4, 8, ...> wird meist das Bildungsgesetz f(x) = 2x verwendet.
Gleichzeitig entsteht in diesem Fall eine geometrische Folge, da jedes neue Folgenglied durch Verdoppeln des vorherigen Folgengliedes gebildet wird.
Somit lautet die "logische" Fortsetzung 16.

Das Bildungsgesetz f(x) = 2x ist aber keineswegs das einzige, das die Zahlenreihe <2, 4, 8, ...> erzeugt.
Wird nämlich das Bildungsgesetz f(x) = x2 - x + 2 verwendet, so erhält man folgende Wertetabelle:

x f(x)
1 f(1) = 2
2 f(2) = 4
3 f(3) = 8
4 f(4) = 14

In diesem Fall lautet also die "logische" Fortsetzung 14.

Allgemein kann die - endliche - Zahlenfolge <2, 4, 8, a, ...> mit Hilfe des Bildungsgesetzes

f(x) = (a/6 - 7/3)x3 + (15 - a)x2- (11a/6 - 80/3)x + (16 - a)

erzeugt werden.

Damit können beispielsweise folgende Zahlenreihen gebildet werden:

Zahlenreihe Bildungsgesetz
<2, 4, 8, 10, ...> f(x) = (-2/3)x3 + 5x2 - (25/3)x + 6
<2, 4, 8, 11, ...> f(x) = (-1/2)x3 + 4x2 - (13/2)x + 5
<2, 4, 8, 14, ...> f(x) = x2 - x + 2
<2, 4, 8, 15, ...> f(x) = (1/6)x3 + (5/6)x + 1

Sollen nun weitere Folgenglieder einer bestimmten Gesetzmäßigkeit gehorchen, so muß der Grad des Bildungsgesetzes erhöht werden, d.h. z. B. eine Funktion der Form f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, ... entwickelt werden.
So kann etwa für die Zahlenfolge <2, 4, 8, 16, a, ...> das Bildungsgesetz

Formel 01

verwendet werden.

Auch die eingangs zitierte Zahlenfolge kann mit Hilfe einer Polynomfunktion erzeugt werden. In diesem Fall wird die Funktion f(x) = 2x in eine Potenzreihe entwickelt, d.h. es gilt:

Formel 02