Ganzkörperhyperthermie

Beitrag
19.03.2024


Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber). Die folgende Grafik dokumentiert näherungsweise den Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer solchen Behandlung:

Ganzkörperhyperthermie 01

Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur:
f(t) = −0,18 ⋅ t3 + 0,85 ⋅ t2 + 0,6 ⋅ t + 36,6
t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
f(t) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C

a.
Berechnen Sie jenen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 °C beträgt.

Auflösung

−0,18 ⋅ t3 + 0,85 ⋅ t2 + 0,6 ⋅ t + 36,6 = 37

t = 0,429... ⇒ t ≈ 0,43 h


b.
Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.

Auflösung

Dazu muss das Maximum der Funktion f ermittelt werden: Man berechnet die Nullstellen der 1. Ableitung f′. Dann berechnet man die Funktionswerte an diesen Stellen und den Randstellen. Die größte dieser Zahlen ist der maximale Funktionswert.


 
Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens 2 Extrempunkte haben kann.

Auflösung

Die 1. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion hat höchstens 2 Nullstellen. Daher kann der Graph der Polynomfunktion 3. Grades nur höchstens 2 Extrempunkte haben.


c.
Die mittlere Körpertemperatur f während der 5 Stunden andauernden Behandlung soll ermittelt werden.
Die mittlere Körpertemperatur in einem Zeitintervall [t1; t2] ist:
f = 1 / (t2 − t1) ⋅ ∫ [t1; t2] f(t) ⋅ dt

Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Zeitintervall [0; 5].

Auflösung

f = (1/5) ⋅ ∫ [0; 5] f(t) ⋅ dt = 39,55... ≈ 39,6

Die mittlere Körpertemperatur beträgt rund 39,6 °C.