Baumstammlänge
Ein Traktor zieht einen Baumstamm mit konstanter Geschwindigkeit.
Ein Fußgänger, der an der Länge des Baumstammes interessiert ist, geht zuerst in gleichmäßigen Schritten vom rückwärtigen zum vorderen Ende und zählt dabei 112 Schritte.
An diesem Ende angekommen, dreht er um und benötigt nun 16 Schritte, um wieder an das rückwärtige Ende des Baumstammes zu gelangen.
Wie groß ist die in Schritten gemessene Länge des Baumstammes ?
Bezeichnet man die gesuchte Länge des Baumstammes mit x, die Geschwindigkeiten von Fußgänger und Traktor mit vF bzw. vT sowie die beiden Laufzeiten des Fußgängers mit t1 und t2, so gilt:
vF ⋅ t1 = 112 bzw. vF = (112/t1)
vF ⋅ t2 = 16 bzw. vF = (16/t2)
Durch Gleichsetzen der beiden rechten Gleichungen ergibt sich die Beziehung
(112/t1) = (16/t2)
woraus sich die Identität
t1 = 7 ⋅ t2
ableiten lässt.
Diese Gleichung ist insofern logisch, da der Fußgänger − bei gleich bleibender Geschwindigkeit − für eine siebenmal so lange Strecke auch siebenmal so lange benötigt.
Nun gilt bei der ersten Zählung die Gleichung
x + vT ⋅ t1 = 112 bzw. vT = ((112 − x)/t1)
da sich Fußgänger und Baumstamm in die gleiche Richtung bewegen, und bei der zweiten Zählung die Gleichung
x − vT ⋅ t2 = 16 bzw. vT = ((x − 16)/t2)
da sich Fußgänger und Baumstamm in entgegengesetzte Richtungen bewegen.
Durch erneutes Gleichsetzen der beiden rechten Gleichungen erhält man:
(112 − x)/t1 = (x − 16)/t2
und nach Einsetzen von t1 = 7 ⋅ t2:
(112 − x)/(7 ⋅ t2) = (x − 16)/t2
Eine Multiplikation dieser Gleichung mit dem Faktor 7 ⋅ t2 und anschließendes Vereinfachen liefern für die gesuchte Länge des Baumstammes einen Wert von 28 Schritten.
Interessant - wenngleich nicht wirklich überraschend − ist das Ergebnis dieser Aufgabe im Falle einer Verallgemeinerung:
Zählt nämlich der Fußgänger bei der ersten Messung a Schritte und bei der zweiten Messung b Schritte, so ergibt sich die allgemeine Gleichung
(112 − x)/(7 ⋅ t2) = (x − 16)/t2
aus der man durch Umformen die Lösung
x = (2 ⋅ a ⋅ b)/(a+b)
erhält.
Fazit:
Die gesuchte Baumstammlänge ist stets das harmonische Mittel
aus den Schrittzahlen der beiden Messungen.