Seerosen

In einem Teich mit einer Wasseroberfläche von 3000 m² befindet sich eine Seerosenpopulation, deren Größe sich täglich verdoppelt.
Nach 15 Tagen ist exakt die Hälfte der Teichoberfläche mit Seerosen bedeckt.

Nach wie vielen Tagen ist die gesamte Teichoberfläche mit Seerosen bedeckt ?

Da sich die mit Seerosen zugewachsene Wasseroberfläche täglich verdoppelt, ist nach 16 Tagen die gesamte Teichoberfläche mit Seerosen bedeckt.

Es geht aber auch ausführlich:

Da es sich beim Seerosenwachstum um einen Verdoppelungsprozess handelt, kann ein Wachstumsmodell der Form

N(t) = N₀ ⋅ 2^t

verwendet werden.
Aus der Bedingung

1500 = N₀ ⋅ 2¹⁵

ergibt sich für den Ausgangszustand

N₀ = 1500/2¹⁵

Aus dem Ansatz

3000 = N₀ ⋅ 2^t = (1500/2¹⁵) ⋅ 2^t = 1500 ⋅ 2^{t − 15}

ergibt sich

2 = 2¹ = 2^{t − 15}

Ein Vergleich der beiden Hochzahlen liefert die Beziehung

1 = t − 15,

aus der sich für die Variable t der Wert 16 ergibt.

Übrigens:

Der Verdoppelungsprozess der Seerosenpopulation ist von der Größe des Teiches unabhängig, denn es gilt für eine Teichoberfläche K:

K/2 = N₀ ⋅ 2¹⁵

N₀ = (K/2)/2¹⁵ = K/2¹⁶

Daraus ergeben sich die Gleichungen

K = N₀ ⋅ 2^t = K/2¹⁶ ⋅ 2^t

2¹⁶ ⋅ K = K ⋅ 2^t

2¹⁶ = 2^t

t = 16