Mehr oder weniger ?
Mario und Luigi möchten 2 kg Zucker abwiegen, haben jedoch nur eine Balkenwaage mit zwei ungleich langen Armen. Da hat Luigi eine Idee:
Er legt ein 1 kg−Gewicht auf die eine Schale der Waage und schüttet in die andere Waagschale solange Zucker, bis Gleichgewicht herrscht.
Nun gibt er den Zucker in eine Dose und legt das 1 kg-Gewicht auf die andere Waagschale.
Nachdem er neuerlich durch Auffüllen mit Zucker Gleichgewicht hergestellt hat, schüttet er auch diesen in die Dose.
"Zwei Kilogramm", behauptet er.
Doch Mario ist sich nicht ganz so sicher.
"Vielleicht sind es ja tatsächlich 2 kg Zucker, aber vielleicht sind es mehr als 2 kg Zucker oder aber weniger als 2 kg."
Wie viele kg Zucker wurden nun tatsächlich abgewogen ?
Bezeichnet man die Längen der beiden Waagenarme mit a bzw. b sowie mit x1 bzw. x2 die beiden abgewogenen Zuckermengen, so gilt für den ersten Wägevorgang die Gleichung
a ⋅ x1 = b ⋅ 1 und damit x1 = b/a
und für den zweiten Wägevorgang die Gleichung
b ⋅ x2 = a ⋅ 1 bzw. x2 = a/b.
Es wurden also insgesamt x1 + x2 = (a + b)/(a ⋅ b) kg Zucker abgewogen.
Da nach Voraussetzung die beiden Längen a und b verschieden sind, gilt weiters:
(a − b) ≠ 0
(a − b)2 > 0
sowie a2 + b2 > 2 ⋅ a ⋅ b
Jede der beiden Waagenarmlängen ist positiv, daher ist auch das Produkt a ⋅ b grösser als 0.
Man erhält daher aus der letzten Ungleichung bei Division durch dieses Produkt a ⋅ b die Ungleichung
(a2 + b2)/(a ⋅ b) > 2.
Es wurden also eindeutig mehr als 2 kg Zucker abgewogen.