Satte Rabatte
Wer kennt nicht den Slogan "Satte Rabatte ! Diesen Freitag und Samstag gibt es minus 25 % auf alle (...) Produkte. Und beim Einlösen des Rabattsammlers gibt es nochmals bis zu minus 20 %. Das sind dann (...) viele Prozent."
Aber wie viele Prozent Preisnachlass sind dies nun wirklich ?
Die Antwort auf diese Frage liefert eine (einfache) Tabelle, bei der in der linken Spalte ein konkreter Einkaufswert für (am einfachsten ist vermutlich der Wert) € 100,-- und in der rechten Spalte ein allgemeiner Einkaufswert von € x,-- als Basis angenommen wird.
| Beschreibung | Beispiel | Verallgemeinerung |
|---|---|---|
| Einkaufswert | € 100,-- | € x,-- |
| "Satte Rabatte"-Bonus in Höhe von 25 % | € 100,-- ⋅ (25/100) = € 25,-- | € x,-- ⋅ (25/100) = € (x/4),-- |
| Einkaufswert nach Abzug des "Satte Rabatte"-Bonus | € 100,-- − € 25,-- = € 75,-- | € x,-- − € (x/4),-- = € (3x/4),-- |
| 20 %-Preisnachlass durch Rabattsammler | € 75,-- ⋅ (20/100) = € 15,-- | € (3x/4),-- ⋅ (20/100) = € (3x/20),-- |
| Endbetrag | € 75,-- − € 15,-- = € 60,-- | € (3x/4),-- − € (3x/20),-- = € (3x/5),-- |
Der gesamte Preisnachlass beträgt daher insgesamt 40 %.
Und wie verhält es sich, wenn von einem Rechnungsbetrag zuerst der Rabattsammler–Bonus abgezogen und erst danach der 25 %-Bonus gewährt wird ?
Da bei einer Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt, ergibt sich auch in diesem Fall ein (Gesamt–)Preisnachlass von 40 %, denn es gilt:
€ 100,-- − € 100,-- ⋅ (20/100) = € 100,-- ⋅ (80/100) = € 80,--
€ 80,-- − € 80,-- ⋅ (25/100) = € 80,-- ⋅ (75/100) = € 60,--
In verkürzter Schreibweise gilt daher:
€ 100,-- ⋅ (80/100) ⋅ (75/100) = € 100,-- ⋅ (75/100) ⋅ (80/100) = € 60,--
Wie hoch müsste eigentlich der Rabattsammler–Bonus (in Prozenten) sein, damit ein Einkaufswert nach Abzug des "Satte Rabatte"–Bonus (25 %) AUF die Hälfte (ist übrigens mit der Aussage UM die Hälfte ident) reduziert wird ?
Offensichtlich gilt nicht 25 % + 25 % = 50 %, denn
€ 100,-- ⋅ (75/100) ⋅ (75/100) = € 56,25 = € 100,-- ⋅ (56,25/100)
Wird also zweimal ein Rabatt von jeweils 25 % gewährt, so beträgt der gesamte Preisnachlass (nur) 43,75 %.
Um nun zu einer (ersten) Preisreduzierung von 25 % eine (zweite) Preisreduzierung, die den ursprünglichen Einkaufswert auf die Hälfte senkt, zu ermitteln, muß gelten:
€ 100,-- ⋅ ((100 − 25)/100) ⋅ ((100 − x)/100) = € 100,-- ⋅ (50/100)
Diese Gleichung ist von der Höhe des Einkaufswertes unabhängig, da auf beiden Seiten der Gleichung durch diesen Betrag (€ 100,--) gekürzt werden kann.
Durch weitere Umformungen erhält man:
((100-25)/100) ⋅ (100 − x)) = 50
(75/100) ⋅ (100 − x)) = 50
(3/4) ⋅ (100 − x)) = 50
100 − x = (200/3)
x = 100 − (200/3) = (100/3) = 33,3 %
Um einen ursprünglichen Einkaufswert auf seine Hälfte zu reduzieren, müsste also zu einem 25 %–"Satte Rabatte"–Bonus noch ein zusätzlicher Rabattsammler–Bonus von 33,3 % gewährt werden.
Allgemein kann die Beziehung zwischen zwei (einzelnen) Preisveränderungen von p1 % und p2 % und einer gesamten Preisveränderung in der Höhe von p % wie folgt dargestellt werden.
€ 100,-- ⋅ ((100 + p1)/100) ⋅ ((100 + p2)/100) = € 100,-- ⋅ ((1 + p)/100)
((100 + p1)/100) ⋅ (100 + p2) = 1 + p
(100 + p1) ⋅ (100 + p2) = 100 + 100p
Daraus ergeben sich die Gleichungen
p = ((p1 + 100) ⋅ (p2 + 100))/100 − 100
p1 = 100 ⋅ (((p + 100)/(p2 + 100)) − 1)
p2 = 100 ⋅ (((p + 100)/(p1 + 100)) − 1)
Zum Schluss noch eine kleine Wertetabelle, die den Zusammenhang zwischen den Größen p1, p2 und p für ausgewählte Zahlenwerte darstellt.
| 1. Preisveränderung | 2. Preisveränderung | Gesamte Preisveränderung |
|---|---|---|
| − 5 % | − 3 % | − 7,85 % |
| − 10 % | − 3 % | − 12,7 % |
| − 10 % | − 5 % | − 14,5 % |
| − 10 % | − 10 % | − 19 % |
| − 20 % | − 10 % | − 28 % |
| − 25 % | − 20 % | − 0 % |
| − 20 % | − 16,6 % | − 0 % |
| − 50 % | − 50 % | − 25 % |
| − 100 % | − 100 % | − 100 % |