Saure Mischung

Eine Schüler[innen]gruppe möchte im Rahmen eines Tages der "offenen Tür" eine Mischung aus den beiden Salzen "Ursalz" und "Zitronica" anbieten.
Im Rahmen erster Vorbereitungen wurde bereits eine 100 dag schwere Mischung im Verhältnis

Ursalz : Zitronica = 7 : 3

hergestellt.
Aufgrund einer Umfrage wurde jedoch festgestellt, daß ein Mischungsverhältnis von

Ursalz : Zitronica = 9 : 1

zu einem stärkeren Absatz führt.

Welche Menge Ursalz ist der vorhandenen Mischung beizumengen, um das gewünschte Verhältnis zu erhalten ?

Besteht eine Mischung aus 70 dag Ursalz und 30 dag Zitronica und bezeichnet man den neuen (gewünschten) Prozentsatz der Ursalzmenge mit p sowie die zuzuführende Ursalzmenge mit x, so erhält man aus den anfänglichen 70 dag Ursalz und 30 dag Zitronica (Gesamtmenge 100 dag) die neue Ursalzmenge (70 + x) dag und die neue Gesamtmenge (100 + x) dag.

In der neuen Mischung besitzt folglich das Ursalz einen Prozentsatz von (70 + x)/(100 + x) %.
Aus der Gleichung p = (70 + x)/(100 + x) erhält man durch Umformen die Beziehung x = (100p − 70)/(1 − p).

Man muß also der ursprünglichen Mischung 200 dag Ursalz hinzufügen, um eine Ursalzkonzentration von 90 % zu erhalten.

An dieser Stelle eine kleine Tabelle als Zusammenfassung:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	70 dag	30 dag	100 dag	7 : 3
Neue Mischung	270 dag	30 dag	300 dag	9 : 1

Und welche Menge Ursalz ist einer vorhandenen Mischung mit einem Gewicht von m dag zuzuführen, um das Verhältnis Ursalz : Zitronica von 7 : 3 auf 9 : 1 zu erhöhen ?

Besitzt eine 7 : 3 − Mischung ein Gewicht von m dag, so besteht sie aus 0,7m dag Ursalz und 0,3m dag Zitronica.
Bezeichnet man wiederum den gewünschten Prozentsatz der Ursalzmenge mit p und die zuzuführende Ursalzmenge mit x, so erhält man nun aus den anfänglichen 0,7m dag Ursalz und 0,3m dag Zitronica die neue Ursalzmenge (0,7m + x) dag und die neue Gesamtmenge (m + x) dag.
Das Ursalz besitzt somit in der neuen Mischung einen Prozentsatz von (0,7m + x)/(m + x) %.

Aus dem Ansatz p = (0,7m + x)/(m + x) erhält man durch Auflösen nach x die Formel x = m(p − 0,7)/(1 − p).

Setzt man schließlich für p den Wert 0,9 (= 90 %) ein, so erhält man für x eine Menge von 2m dag.
Dies bedeutet: Man muß einer vorhandenen 7 : 3 - Mischung vom Gewicht m dag genau die Menge 2m dag an Ursalz hinzufügen, um eine Mischung im Verhältnis 9 : 1 zu erhalten.

Übrigens wird dadurch das Gesamtgewicht der ursprünglichen Mischung (von m dag auf 3m dag) verdreifacht.

Aber wie kann ein Mischungsverhältnis von 7 : 3 auf 9 : 1 erhöht werden, wenn ein vorhandenes Gesamtgewicht von m dag letztendlich nicht verändert werden soll ?

In diesem Fall muß zuerst eine (vorerst noch unbekannte) Menge der bereits vorhandenen 7 : 3 − Mischung entnommen werden, um anschließend durch die gleiche Menge an Ursalz ersetzt zu werden.
Bezeichnet man nun diese gesuchte Menge mit x, so werden der vorhandenen Mischung (bei guter Durchmischung) genau 0,7x dag Ursalz und 0,3x dag Zitronica entnommen, um anschließend durch x dag Ursalz ersetzt zu werden.

Es gilt daher:

	Ursalz	Zitronica	Menge
Alte Mischung	0,7m dag	0,3m dag	m dag
	0,7m − 0,7x dag	0,3m − 0,3x dag	m − x dag
Neue Mischung	0,7m + 0,3x dag	0,3m − 0,3x dag	m dag

Somit enthält die neue Mischung mit einem Gesamtgewicht von m dag eine Ursalzkonzentration von (0,7m + 0,3x)/m %.
Setzt man diesen Bruch gleich dem gewünschten Prozentsatz p, so erhält man p = (0,7m + 0,3x)/m und nach Umformen die Gleichung x = m(p − 0,7)/0,3.

Ist p = 0,9, so ergibt sich x = (2/3)m.
Folglich muß man stets genau zwei Drittel einer 7 : 3 − Mischung durch die gleiche Menge an Ursalz ersetzen, um bei einem gleichbleibendem Gesamtgewicht von m dag das Mischungsverhältnis von 7 : 3 auf 9 : 1 zu erhöhen.

Für eine Menge von 300 dag erhält man daher folgende Übersicht:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	100 dag	90 dag	300 dag	7 : 3
	70 dag	30 dag	100 dag	7 : 3
Neue Mischung	270 dag	30 dag	300 dag	9 : 1

Wie kann der gesamte Sachverhalt allgemein dargestellt werden ?

Soll aus einer vorhandenen Mischung mit einem Gewicht von m dag das Mischungsverhältnis Ursalz : Zitronica von a : b auf c : d verändert werden, so muß aus der ursprünglichen Ursalzkonzentration p_alt = [a/(a + b)] die neue Ursalzkonzentration p_neu = [c/(c + d)] hergestellt werden.
Dabei sind prinzipiell zwei Fälle möglich:

Fall 1: Das Gewicht der Mischung bleibt nicht erhalten

Hier wird durch Zugabe von x dag Ursalz das neue Mischungsverhältnis erzeugt.

	Ursalz	Zitronica	Menge
Alte Mischung	m ⋅ p_alt dag	m ⋅ (1 − p_alt) dag	m dag
Neue Mischung	m ⋅ p_alt + x dag	m ⋅ (1 − p_alt) dag	m dag

Für den neuen Prozentsatz p_neu gilt daher die Gleichung p_neu = (m ⋅ p_alt + x)/(m + x), welche durch Umformung zur Bedingung x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_neu)m führt.

An dieser Stelle ein Beispiel:
Aus einer 2520 dag schweren Mischung im Verhältnis von 7 : 5 soll durch Zugabe von Ursalz das Mischungsverhältnis 9 : 5 erzeugt werden.

Aus der Formel x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_neu)m erhält man für p_alt = (7/12), p_neu = (9/14) und m = 2520 dag eine zuzuführende Menge x von 420 dag.

Dadurch ergibt sich für die beiden Mischungen:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	1470 dag	1050 dag	2520 dag	7 : 5
Neue Mischung	1890 dag	1050 dag	2940 dag	9 : 5

Die Formel x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_neu)m ist zwar prinzipiell für 0 < p_alt, p_neu < 1 sowie für m > 0 definiert, dennoch liefert sie nur für p_alt < p_neu sinnvolle Werte.

Setzt man nämlich − bei gleichbleibendem m = 2520 dag − für p_alt (7/12) und für p_neu (3/8) in die Formel ein, so erhält man für x den Wert − 840 dag.
Das Mischungsverhältnis wird in diesem Fall von 7 : 5 auf 3 : 5 verändert, wie sich in der folgenden Übersicht zeigt:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	1470 dag	1050 dag	2520 dag	7 : 5
Neue Mischung	630 dag	1050 dag	1680 dag	3 : 5

Man müsste in diesem Fall 840 dag reinstes Ursalz aus der vorhandenen 7 : 5 − Mischung entnehmen.

Fall 2: Das Gewicht der Mischung bleibt erhalten

Hier wird zuerst eine Menge x der bereits vorhandenen Mischung entnommen, um anschließend durch die gleiche Menge an Ursalz ersetzt zu werden.

	Ursalz	Zitronica	Menge
Alte Mischung	m ⋅ p_alt dag	m ⋅ (1 − p_alt) dag	m dag
	(m − x) ⋅ p_alt dag	(m − x) ⋅ (1 − p_alt) dag	m − x dag
Neue Mischung	(m − x) ⋅ p_alt + x dag	m ⋅ (1 − p_alt) dag	m dag

Für den neuen Prozentsatz p_neu gilt hier die Gleichung p_neu = [(m − x) ⋅ p_alt + x]/m, welche durch Umformung zur Gleichung x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_alt)m führt.

An dieser Stelle wieder ein Beispiel:
Aus einer 2520 dag schweren Mischung im Verhältnis von 7 : 5 soll − bei gleichbleibendem Gesamtgewicht − durch Zugabe von Ursalz das Mischungsverhältnis 9 : 5 erzeugt werden.

Aus der Formel x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_alt)m erhält man diesmal für p_alt = (7/12), p_neu = (9/14) und m = 2520 dag eine Menge x von 360 dag.
Es werden daher zuerst 360 dag der vorhandenen Mischung entnommen und anschließend 360 dag reines Ursalz dazugegeben.

Somit erhält man:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	1470 dag	1050 dag	2520 dag	7 : 5
	1260 dag	900 dag	2160 dag	7 : 5
Neue Mischung	1620 dag	900 dag	2520 dag	9 : 5

Auch die Formel x = (p_neu − p_alt)/(1 − p_alt)m ist prinzipiell für 0 < p_alt, p_neu < 1 sowie für m > 0 definiert, dennoch liefert auch sie nur für p_alt < p_neu Werte, die in der Praxis durchführbar sind.

Setzt man nämlich erneut für p_alt (7/12) und für p_neu (3/8) − bei gleichbleibendem m = 2520 dag − in die Formel ein, so erhält man für x einen Wert von − 1260 dag.

Damit erhält man folgende Tabelle:

	Ursalz	Zitronica	Menge	Verhältnis
Alte Mischung	1470 dag	1050 dag	2520 dag	7 : 5
	2205 dag	1575 dag	3780 dag	7 : 5
Neue Mischung	945 dag	1575 dag	2520 dag	3 : 5

Man müsste daher in diesem Fall zuerst 1260 dag der bereits vorhandenen 7 : 5 − Mischung zusätzlich erzeugen, um anschließend aus der mittlerweile 3780 dag schweren Mischung 1260 dag reines Ursalz zu entnehmen.