Die Kreuzmultiplikation


Ausgangspunkt für diese Folge ist die Multiplikation einer zweistelligen Zahl, die eine einstellige Ziffernsumme besitzt, mit dem Faktor 11.
Dabei zeigt sich, daß beim gesuchten Produkt zwischen der ersten Ziffer (ursprüngliche Zehnerziffer) und der letzten Ziffer (ursprüngliche Einerziffer) gerade die einstellige Ziffernsumme der ursprünglichen Zahl steht.
Es gilt also z.B.

11 ⋅ 23 = 253
11 ⋅ 34 = 374
11 ⋅ 45 = 495

Allgemein erhält man für eine zweistellige natürliche Zahl der Form 10 ⋅ a + b aufgrund des Distributivgesetzes

11 ⋅ (10 ⋅ a + b) = 100 ⋅ a + 10 ⋅ (a + b) + b.

Multipliziert man eine dreistellige Zahl mit dem Faktor 11, so stehen beim Ergebnis − sofern keine Überträge vorhanden sind − zwischen der ersten Ziffer (ursprüngliche Hunderterziffer) und der letzten Ziffer (ursprüngliche Einerstelle) die Summen aus Hunderter- und Zehnerziffer bzw. aus Zehner- und Einerziffer, wie die folgenden Beispiele zeigen:

11 ⋅ 234 = 2574
11 ⋅ 345 = 3795

Analog erhält man für die Multiplikation der vierstelligen Zahl 2345 mit dem Faktor 11:

11 ⋅ 2345 = 25795

Allgemein ergibt sich für eine dreistellige Zahl der Form 100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c bzw. für eine vierstellige Zahl der Form 1000 ⋅ a + 100 ⋅ b + 10 ⋅ c + d:

11 ⋅ (100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c) = 1000 ⋅ a + 100 ⋅ (a + b) + 10 ⋅ (b + c) + c

11 ⋅ (1000 ⋅ a + 100 ⋅ b + 10 ⋅ c + d) = 10000 ⋅ a + 1000 ⋅ (a + b) + 100 ⋅ (b + c) + 10 ⋅ (c + d) + d

Die Multiplikation einer natürlichen Zahl mit dem Faktor 11 ist ein Spezialfall der im folgenden näher beschriebenen Kreuzmultiplikation, bei der einzelne Ziffern der beiden Faktoren in bestimmter Weise miteinander verknüpft werden.
So kann etwa die Multiplikation 45 ⋅ 63 durch Bilden der Produkte 5 ⋅ 3 = 15, 4 ⋅ 3 = 12, 5 ⋅ 6 = 30 sowie 4 ⋅ 6 = 24 wie folgt durchgeführt werden:

  T H Z E
5 ⋅ 3 = 15     1 5
4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 = 42   4 2  
4 ⋅ 6 = 24 2 4    
  2 8 3 5

Setzt man in dieser Multiplikation die Variablen a = 4, b = 5, c = 6 und d = 3, so gilt:

  T H Z E
a ⋅ b = 15     1 5
a ⋅ d + b ⋅ c = 42   4 2  
a ⋅ c = 24 2 4    
  2 8 3 5

Das gesuchte Produkt 2835 kann also durch Bilden der Ziffernprodukte a ⋅ c = 24, a ⋅ d = 12, b ⋅ c = 30 und b ⋅ d = 15 gebildet werden, da aufgrund des Distributivgesetzes die Gleichung

(10 ⋅ a + b) ⋅ (10 ⋅ c + d) = 100 ⋅ a ⋅ c + 10 ⋅ (a ⋅ d + b ⋅ c) + b ⋅ d

gilt.

Um das gewünschte Produkt − mit der Einerstelle beginnend − direkt anschreiben zu können, kann man sich daher folgende Überlegung zunutze machen:

Kopfrechnung(en) Anleitung(en) T H Z E
5 ⋅ 3 = 15 Schreibe 5, Merke 1       5
4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 = 42
42 + 1 = 43		 Schreibe 3, Merke 4     3 5
4 ⋅ 6 = 24
24 + 4 = 28		 Schreibe 28 2 8 3 5

Für die Multiplikation zweier zweistelligen Zahlen kann daher die Kreuzmultiplikation in der Form

A
B
 
A
B
 
A
B
C
D
 
C
D
 
C
D

durchgeführt werden.
Sollen nun zwei dreistellige Zahlen miteinander multipliziert werden, so wird die graphische Darstellung der Kreuzmultiplikation auf die Form

A
B
C
 
A
B
C
 
A
B
C
 
A
B
C
 
A
B
C
D
E
F
 
D
E
F
 
D
E
F
 
D
E
F
 
D
E
F

erweitert, wobei auch in diesem Fall die Multiplikation einzelner Ziffern die zentrale Rolle spielt.
Da aufgrund des Distributivgesetzes die Beziehung

(100 ⋅ a + 10 ⋅ b + c) ⋅ (100 ⋅ d + 10 ⋅ e + f) = 10000 ⋅ a ⋅ d + 1000 ⋅ (a ⋅ e + b ⋅ d) + 100 ⋅ (a ⋅ f + b ⋅ e + c ⋅ d) + 10 ⋅ (b ⋅ f + c ⋅ e) + c ⋅ f

gilt, erhält man für die Multiplikation der beiden dreistelligen Zahlen 123 und 456:

  ZT T H Z E
c ⋅ f = 18       1 8
b ⋅ f + c ⋅ e = 27     2 7  
a ⋅ f + b ⋅ e + c ⋅ d = 28   2 8    
a ⋅ e + b ⋅ d = 13 1 3      
a ⋅ d = 4 4        
  5 6 0 8 8

Kopfrechnung(en) Anleitung(en) ZT T H Z E
3 ⋅ 6 = 18 Schreibe 8, Merke 1         8
2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 5 = 27
28 + 1 = 28		 Schreibe 8, Merke 2       8 8
1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 = 28
28 + 2 = 30		 Schreibe 0, Merke 3     0 8 8
1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 = 13
13 + 3 = 16		 Schreibe 6, Merke 1   6 0 8 8
1 ⋅ 4 = 4; 4 + 1 = 5 Schreibe 56 5 6 0 8 8