Die vedische Multiplikation


Es wäre durchaus nicht übertrieben, dieser Folge den Werbeslogan "Frag´ doch den Inder" als Titel zu geben, denn die vedische Multiplikation ist ein aus Indien stammendes Rechenverfahren.
So kann etwa die Multiplikation zweier Faktoren, die jeweils knapp unterhalb einer Zehnerpotenz liegen, relativ rasch durchgeführt werden, wie das Beispiel der Multiplikation 95.97 zeigt:

95
97		   Zu Beginn werden die beiden Faktoren (95 bzw. 97) innerhalb einer Spalte untereinander geschrieben.
95
97		 5
3		 In einer zweiten Spalte werden die Differenzen zur nächstliegenden Zehnerpotenz (100) gebildet.
95
97

92		 5
3

15		 Nun wird zum einen der erste Wert der zweiten Spalte (5) vom zweiten Wert der ersten Spalte (97) subtrahiert und zum anderen das Produkt der beiden Werte der zweiten Spalte (5 bzw. 3) ermittelt.
Das Ergebnis der Subtraktion (92) wird am Ende der ersten, jenes der Multiplikation (15) am Ende der zweiten Spalte notiert.

Durch Aneinanderreihen dieser beiden Werte (92 bzw. 15) erhält man das gesuchte Produkt 9215 der beiden Faktoren 95 und 97.

Als Begründung für das Funktionieren dieses Verfahrens dient folgende Überlegung:

95 ⋅ 97 = (100 − 5) ⋅ (100 − 3) = 100 ⋅ (100 − 5 − 3) + 15 = 100 ⋅ 92 + 15 = 9215

Natürlich liefert eine Vertauschung der beiden Faktoren dasselbe Ergebnis, denn es gilt:

97
95

92
3
5

15

bzw.

97 ⋅ 95 = (100 − 3) ⋅ (100 − 5) = 100 ⋅ (100 − 3 − 5) + 15 = 100 ⋅ 92 + 15 = 9215

Das Verfahren ist jedoch keinesfalls auf zweistellige Zahlen beschränkt, denn für die Multiplikation der beiden Zahlen 984 und 991 erhält man die Tabelle:

984
991

975
16
9

144

und die Umformung

984 ⋅ 991 = (1000 − 16) ⋅ (1000 − 9) = 1000 ⋅ (1000 − 16 − 9) + 144 = 1000 ⋅ 975 + 144 = 975144

Es können also in diesem Fall die beiden Ziffernfolgen 975 und 144 einfach nebeneinander geschrieben werden. Dabei ist jedoch zu beachten, daß führende Nullen des zweiten Termes berücksichtigt werden müssen.
Für die Multiplikation 988 ⋅ 992 gilt nämlich:

988 ⋅ 992 = (1000 − 12) ⋅ (1000 − 8) = 1000 ⋅ (1000 − 12 − 8) + 96 = 1000 ⋅ 980 + 96 = 980096

bzw.

988
992

980
12
8

096

Bezeichnet man nun mit a bzw. b zwei Faktoren, die knapp unterhalb einer Zehnerpotenz der Form 10n liegen, und mit a bzw. b die jeweiligen Differenzen 10n − a bzw. 10n − b, so gilt für a ⋅ b < 10n:

a ⋅ b = (10n − a) ⋅ (10n − b) = 10n ⋅ (10n − a − b) + a ⋅ b

Aus den Bedingungen

10n − a = a und 10n − b = b

erhält man

a ⋅ b = 10n ⋅ (a − b) + a ⋅ b und a ⋅ b = 10n ⋅ (b − a) + a ⋅ b

Liegen die beiden Faktoren knapp oberhalb einer bestimmten Zehnerpotenz, so liefert das beschriebene Verfahren negative Werte für die beiden Grössen a und b. So gilt für die Multiplikation 1007 ⋅ 1016:

1007
1016

1023
− 7
− 16

112

und

1007 ⋅ 1016 = (1000 + 7) ⋅ (1000 + 16) = 1000 ⋅ [1000 − (− 7) − (− 16)] + (− 7) ⋅ (− 16) = 1000 ⋅ 1023 + 112 = 1023112

bzw.

1016
1007

1023
− 16
− 7

112

und

1016 ⋅ 1007 = (1000 + 16) ⋅ (1000 + 7) = 1000 ⋅ [1000 − (− 16) − (− 7)] + (− 7) ⋅ (-16) = 1000 ⋅ 1023 + 112 = 1023112

Auch in diesem Fall müssen etwaige führende Nullen des zweiten Termes angeschrieben werden, wie die Beispiele 1004 ⋅ 1009 bzw. 1009 ⋅ 1004 zeigen:
Hier lauten die beiden Tabellen

1044
1009

1013
− 4
− 9

036

und

1009
1044

1013
− 9
− 4

036

sowie die beiden Umformungen

1004 ⋅ 1009 = (1000 + 4) ⋅ (1000 + 9) = 1000 ⋅ [1000 − (− 4) − (− 9)] + (− 4) ⋅ (− 9) = 1000 ⋅ 1013 + 036 = 1013036
und

1009 ⋅ 1004 = (1000 + 9) ⋅ (1000 + 4) = 1000 ⋅ [1000 − (− 9) − (− 4)] + (− 4) ⋅ (− 9) = 1000 ⋅ 1013 + 036 = 1013036

Übrigens:

Liegt einer der beiden Faktoren knapp unterhalb einer Zehnerpotenz der Form 10n und der zweite Faktor knapp unterhalb der Schranke k ⋅ 10n, so kann das bisherige Verfahren leicht erweitert werden:
Gilt für den Faktor a die Bedingung a < 10n und für den Faktor b die Bedingung b < k ⋅ 10n, so erhält man für das Produkt a ⋅ b:

a ⋅ b = (10n − a) ⋅ (k ⋅ 10n − b) = 10n ⋅ (k ⋅ 10n − b − k ⋅ a) + a ⋅ b =
= 10n ⋅ (b − k ⋅ a) + a ⋅ b

Für die Multiplikation 987 ⋅ 2991 erhält man somit:

987 ⋅ 2991 = (1000 − 13) ⋅ (3000 − 9) = 1000 ⋅ [3000 − 9 − 3 ⋅ 13] + 13 ⋅ 9 = 1000 ⋅ [2991 − 3 ⋅ 13] + 13 ⋅ 9 = 1000 ⋅ 2952 + 117 = 2952117

Hier muss in der Tabelle für die Ermittlung des Endwertes der ersten Spalte das b-fache des ersten Wertes der zweiten Spalte (im Beispiel 3.13) vom zweiten Eintrag der ersten Spalte subtrahiert werden.

987
2991

2952
13
9

117