Der sichere Hang
Nicht selten führen Aufgaben aus dem Gebiet der "bedingten Wahrscheinlichkeit" zu einem Trugschluss, weshalb an dieser Stelle ein Beispiel mit einem durchaus erstaunlichen Ergebnis angeführt sei:
Ein Hang kann an 15 von 100 Wintertagen sicher befahren werden, an den übrigen 85 Tagen sollte er jedoch gemieden werden.
Da es sich um einen gefährlichen Hang handelt, holt ein Snowboarder das Urteil eines Experten ein, dessen Gutachten eine Sicherheit von 80 % besitzen.
Der Experte prüft den Hang und entscheidet, dass der Hang an einem bestimmten Tag befahrbar ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hang an diesem Tag auch tatsächlich sicher ist ?
Viele Leute geben vermutlich "80 %" als erste Antwort, aber wie kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit ermittelt werden ?
Ein gute Darstellungsmöglichkeit bietet bei derartigen Problemstellungen eine Vier−Felder−Tabelle:
| Hang sicher | Hang nicht sicher | ||
|---|---|---|---|
| Gutachten + | 12 | 17 | 29 |
| Gutachten − | 3 | 68 | 71 |
| 15 | 85 | 100 |
Die Gutachten des Experten sind mit einer Sicherheit von 80 % richtig, d.h. an insgesamt 12 von 15 (= 80 %) sicheren Tagen und an 68 von 85 (= 80 %) nicht sicheren Tagen ist das Gutachten des Experten richtig.
Aus der Tabelle ergibt sich ferner, daß an insgesamt 29 Tagen ein positives Gutachten erstellt wird und daß an 12 dieser 29 Tage auch der Hang tatsächlich sicher ist.
Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
P(Hang ist sicher | Gutachten +) = (12/29) = 0,413793 = 41,3793 %.
Diese Wahrscheinlichkeit ist kleiner als 50 %, d.h. unter diesen Voraussetzungen ist das Werfen einer idealen Münze erfolgreicher.