Die Mücke und der Elefant
Ausgangspunkt für diesen Trugschluss–Klassiker ist das Festlegen der Variablen x (Gewicht der Mücke) und y (Gewicht des Elefanten).
Zusätzlich kann die Summe der beiden Gewichte durch den Term 2z beschrieben werden. Somit können z.B. die beiden folgenden Gleichungen aufgestellt werden.
x − 2z = − y
x = − y + 2z
Aufgrund der Beziehung
a = c und b = d ⇔ a ⋅ b = c ⋅ b = c ⋅ d
können die beiden linken und die beiden rechten Seiten jeweils miteinander multipliziert werden. Dies liefert die Gleichung
x2 − 2 ⋅ x ⋅ z = y2 − 2 ⋅ y ⋅ z
Nun kann auf jeder der beiden Seiten der Term z2 addiert werden, wodurch sich jeweils ein vollständiges Quadrat ergibt. Es gilt also:
x2 − 2 ⋅ x ⋅ z + z2 = y2 − 2 ⋅ y ⋅ z + z2
Aufgrund der (zweiten) binomischen Formel (a − b)2 = a2 − 2.a.b + b2 gilt somit:
(x − z)2 = (y − z)2
Zieht man nun auf beiden Seiten die (Quadrat-)Wurzel, so führt dies zur Gleichung
(x − z) = (y − z)
Schließlich erzeugt die Subtraktion des Wertes z auf beiden Seiten die Gleichung
x = y
Dies bedeutet, daß das Gewicht der Mücke (x) gleich dem Gewicht des Elefanten (y) ist, was zweifelsohne einen Widerspruch zur Ausgangssituation darstellt.
Aber wo ist der Trugschluss ?
Am einfachsten kann der Fehler durch das Einsetzen kleiner (positiver) Zahlenwerte für die Variablen x und y gefunden werden.
Für die konkreten Werte x = 20 und y = 4 erhält man für die Summe 2z den Wert 24 bzw. für die Variable z den Wert 12.
Nun werden mit Hilfe einer Tabelle die Umformungsschritte für die konkreten Zahlenwerte durchgeführt.
| x − 2z = − y | 4 − 24 = − 20 |
| x2 − 2 ⋅ x ⋅ z = y2 − 2 ⋅ y ⋅ z | 42 − 4 ⋅ 24 = 202 − 20 ⋅ 24 |
| (x − z)2 = (y − z)2 | (4 − 12)2 = (20 − 12)2 |
| x − z = y − z | 4 − 12 = 20 − 12 |
| Widerspruch |
Der Fehler liegt somit beim (Quadrat-)Wurzelziehen, denn aus der Gleichung x2 = 4 mit der Lösungsmenge L = {− 2, 2} folgt nicht automatisch die Gleichung x = 2, da auch x = − 2 eine Lösung der Gleichung x2 = 4 ist.
Fazit:
Beim (Quadrat-)Wurzelziehen muß stets auch die negative Lösung berücksichtigt werden.