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Freitag, 18.10.2019, 12:36 Uhr  
 
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Ausgangspunkt für diesen Trugschluss–Klassiker ist das Festlegen der Variablen x (Gewicht der Mücke) und y (Gewicht des Elefanten).
Zusätzlich kann die Summe der beiden Gewichte durch den Term 2z beschrieben werden. Somit können z.B. die beiden folgenden Gleichungen aufgestellt werden.

x − 2z = − y

x = − y + 2z

Aufgrund der Beziehung

a = c und b = da.b = c.b = c.d

können die beiden linken und die beiden rechten Seiten jeweils miteinander multipliziert werden. Dies liefert die Gleichung

x2 − 2.x.z = y2 − 2.y.z

Nun kann auf jeder der beiden Seiten der Term z2 addiert werden, wodurch sich jeweils ein vollständiges Quadrat ergibt. Es gilt also:

x2 − 2.x.z + z2 = y2 − 2.y.z + z2

Aufgrund der (zweiten) binomischen Formel
(a − b)2 = a2 − 2.a.b + b2 gilt somit:

(x − z)2 = (y − z)2

Zieht man nun auf beiden Seiten die (Quadrat-)Wurzel, so führt dies zur Gleichung

(x − z) = (y − z)

Schließlich erzeugt die Subtraktion des Wertes z auf beiden Seiten die Gleichung

x = y

Dies bedeutet, daß das Gewicht der Mücke (x) gleich
dem Gewicht des Elefanten (y) ist, was zweifelsohne einen Widerspruch zur Ausgangssituation darstellt.

Aber wo ist der Trugschluss ?

Am einfachsten kann der Fehler durch das Einsetzen kleiner (positiver) Zahlenwerte für die Variablen x und y gefunden werden.
Für die konkreten Werte x = 20 und y = 4 erhält man für die Summe 2z den Wert 24 bzw. für die Variable z den Wert 12.

Nun werden mit Hilfe einer Tabelle die Umformungsschritte für die konkreten Zahlenwerte durchgeführt.

x − 2z = − y
4 − 24 = − 20
x2 − 2.x.z = y2 − 2.y.z
42 − 4.24 = 202 − 20.24
(x − z)2 = (y − z)2
(4 − 12)2 = (20 − 12)2
x − z = y − z
4 − 12 = 20 − 12
 
Widerspruch

Der Fehler liegt somit beim (Quadrat-)Wurzelziehen, denn

aus der Gleichung x2 = 4 mit der Lösungsmenge L = {-2, 2}

folgt nicht automatisch die Gleichung x = 2,

da auch x = -2 eine Lösung der Gleichung x2 = 4 ist.

Fazit:

Beim (Quadrat-)Wurzelziehen muß stets auch die negative Lösung berücksichtigt werden.
Die Mücke und der Elefant