Die allgemeine Methode


Für die Erstellung eines magischen Zahlenquadrates mit einer vorgegebenen Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme kann − in Anlehnung an die Kandidaten-Methode − das Basisquadrat

         
  1 12 7 34
11 8   2 34
5 10 3   34
4   6 9 34
20 19 21 18  

prinzipiell mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/22] multipliziert und mit Hilfe der Subtraktionen Summe − 20 ⋅ Hilfszahl, Summe − 21 ⋅ Hilfszahl, Summe − 18 ⋅ Hilfszahl sowie Summe − 19 ⋅ Hilfszahl erstellt werden.
Für die − in der Sendung "Wetten, dass ... ?" vorgegebene − Summe 216 784 kann daher maximal die Hilfszahl 9 853 verwendet werden, wodurch sich das magische Quadrat

        216 784
19 724 9 853 118 236 68 971 216 784
108 383 78 824 9 871 19 706 216 784
49 265 98 530 29 559 39 430 216 784
39 412 29 577 59 118 88 677 216 784
216 784 216 784 216 784 216 784 216 784

welches aus lauter verschiedenen Werten besteht, ergibt.
Hat jedoch eine vorgegebene Summe (mindestens) einen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34, so führt die Verwendung der Hilfszahl (Summe/x) zwar zu einem magischen Quadrat, jedoch besitzt dieses nicht 16 verschiedene Feldeinträge.
Da die Zahl 216 784 die Primfaktorenzerlegung 24 ⋅ 17 ⋅ 797 besitzt, gibt es keinen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34. Es führen also alle 9 853 (natürlichen) Hilfszahlen zu einem magischen Quadrat mit verschiedenen Feldeinträgen.
Hingegen besitzt die Zahl 216 783 aufgrund der Primfaktorenzerlegung 33 ⋅ 7.31 ⋅ 37 die beiden (kritischen) Teiler x1 = 27 und x2 = 31.
Die Verwendung der beiden Hilfszahlen (Summe/x1) = 8 029 und (Summe/x2) = 6 993 liefert daher die magischen Quadrate:

        216 783
56 203 8 029 96 348 56 203 216 783
88 319 64 232 48 174 16 058 216 783
40 145 80 290 24 087 72 261 216 783
32 116 64 232 48 174 72 261 216 783
216 783 216 783 216 783 216 783 216 783

und

        216 783
76 923 6 993 83 916 48 951 216 783
76 923 55 944 69 930 13 986 216 783
34 965 69 930 20 979 90 909 216 783
27 972 83 916 41 958 62 937 216 783
216 783 216 783 216 783 216 783 216 783

In jedem dieser beiden magischen Quadrate gibt es mindestens zwei Felder mit einem gleichen Feldeintrag.
Um dies zu vermeiden, macht man sich folgende Überlegung zunutze:
Dividiert man die beiden letzten magischen Quadrate durch ihre jeweiligen Hilfszahlen, so erhält man die beiden Quadrate

        27
7 1 12 7 27
11 8 6 2 27
5 10 3 9 27
4 8 6 9 27
27 27 27 27 27

und

        31
11 1 12 7 31
11 8 10 2 31
5 10 3 13 31
4 12 6 9 31
31 31 31 31 31

Das erste magische Quadrate besitzt als Summenzahl den Teiler x1 = 27, das zweite den Teiler x2 = 31.
Sollen jedoch in allen Feldern verschiedene Werte enthalten sein, so muss die Summenzahl eines magischen Quadrates (der Grösse 4 x 4) mindestens 34 sein. Dies bedeutet, daß die Hilfszahl für ein magisches Quadrat mit 16 verschiedenen Werten maximal [Summe/34] sein kann.
Um also zu einer vorgegebenen Summenzahl ein magisches Quadrat mit lauter verschiedenen Feldeinträgen zu entwickeln, kann das am Beginn dieser Folge angeführte Basisquadrat mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/34] multipliziert und anschließend mit Hilfe der Differenzen Summe − 20 ⋅ Hilfszahl, Summe − 21 ⋅ Hilfszahl, Summe − 18 ⋅ Hilfszahl sowie Summe − 19 ⋅ Hilfszahl erstellt werden.

Übrigens:

Legt man sich von vornherein auf eine bestimmte Hilfszahl fest, so führen genau die zwölf Summenwerte 22 ⋅ Hilfszahl, 23 ⋅ Hilfszahl, ... , 33 ⋅ Hilfszahl zu magischen Quadraten, bei denen mindestens zwei Felder einen gleichen Wert besitzen.
Für die in der Sendung "Wetten, dass ...?" verwendete Hilfszahl 4 096 lauten somit die zwölf "kritischen" Summenzahlen: 90 112, 94 208, 98 304, 102 400, 106 496, 110 592, 114 688, 118 784, 122 880, 126 976, 131 072 und 135 168.