Achill und die Schildkröte
Vor knapp 2500 Jahren stellte der griechische Philosoph Zenon von Elea folgendes Problem auf:
"Der schnellfüssige Achilles folgt einer Schildkröte, die sich ein Stadion (rund 180 Meter) vor ihm befindet. Er läuft zehnmal so schnell wie die Schildkröte, sodaß sie ihm (1/10) Stadion voraus ist, wenn er am Startpunkt der Schildkröte eintrifft. Durchläuft Achilles nun diese (kurze) Strecke, so hat die Schildkröte immer noch einen Vorsprung von (1/100) Stadion. Achilles wird also die Schildkröte niemals einholen."
Zenons Trugschluß beruht auf der Annahme, daß eine Summe aus unendlich vielen Summanden auch eine unendlich grossen Summenwert haben müsse.
Bezeichnet man mit t die Sekundenzahl, in der Achilles eine Strecke von 1 Stadion durchläuft, so erhält man:
| Achilles Weg (in m) | Schildkrötenweg (in m) | Zeit (in s) |
|---|---|---|
| 0 | 180 | 0 |
| 180 | 180 + 18 | t |
| 180 + 18 | 180 + 18 + 1,8 | t + (t/10) |
| 180 + 18 + 1,8 | 180 + 18 + 1,8 + 0,18 | t + (t/10) + (t/100) |
Setzt man diesen Prozeß beliebig fort, so erhält man für die einzelnen Zeitabschnitte, in denen Achilles die jeweiligen Streckenlängen 1 Stadion, (1/10) Stadion, (1/100) Stadion, ... durchläuft, die geometrische Folge
<t, (t/10), (t/100), ...>
sowie für seine Gesamtlaufzeit die (unendliche) geometrische Reihe
t + (t/10) + (t/100) + ...
Diese Summe besitzt, da jeder folgende Summand genau ein Zehntel des vorhergehenden Summanden ist, den Wert t/(1-(1/10)) = 10t/9.
Achilles hat somit die Schildkröte nach 10t/9 Sekunden eingeholt.
Da er in t Sekunden eine Strecke von 180 Metern zurücklegt, geschieht dieser Vorgang genau 180 ⋅ (10t)/9 = 200 Meter nach seinem Start.