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MATHE-POPSTAR

Cedric Villani im Parlament
Dienstag, 13.11.2018, 00:19 Uhr
In der Sendung "Money Maker" (in den Sommermonaten Juli und August im TV-Vorabendprogramm) können zwei Kandidat[inn]en um den Gewinn eines "Wiener Philharmonikers" spielen.
Dabei rubbeln beide Kandidat[inn]en virtuell abwechselnd jeweils ein Feld eines 4 x 3 - Spielfeldes, das symbolische Münzen und Nieten enthält, auf.
Es gewinnt jene[r] Kandidat[in], der[die] zuerst die dritte Münze auf dem Spielfeld erwischt. Es stellt sich nun die Frage:

Ist dieses Spiel fair, d.h. hat jede[r] der beiden Kandidat[inn]en eine Gewinnchance von 50 % ?

Enthält das Spielfeld etwa drei Münzen und neun Nieten, so beträgt die Chance, bereits beim dritten Zug die dritte Münze zu erhalten, gerade
P(X = 3) = (3/12).(2/11).(1/10) = (6/1320).
Benötigt man insgesamt vier Züge, so muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass die einzige Niete bei jedem der ersten drei Züge erwischt werden kann. Es gilt somit:
P(X = 4) = (9/12).(3/11).(2/10).(1/9).3 =
= (3/12).(2/11).(1/10).3 = (18/1320).
Im Falle von fünf Zügen gibt es bereits sechs Möglichkeiten, die nunmehr zwei vorhandenen Nieten auf die ersten vier Züge zu verteilen (das Verfahren erinnert stark an die geometrische bzw. an die PASCAL-Verteilung, wenngleich im Unterschied zu diesen beiden Verteilungen keine "Gedächtnislosigkeit" vorliegt).
Dadurch erhält man:
P(X = 5) = (9/12).(8/11).(3/10).(2/9).(1/8).6 =
= (3/12).(2/11).(1/10).6 = (36/1320).
Besitzt also das Spielfeld genau drei Münzen und neun Nieten, so hat die Zufallsvariable "Ziehungen bis zum Erreichen der dritten Münze" die Verteilung

Formel 01

Dies führt zu folgender Gewinntabelle:

Nummer des Zuges
Gewinnchance
 
 
3
(6/1320)
4
(18/1320)
5
(36/1320)
6
(60/1320)
7
(90/1320)
8
(126/1320)
9
(168/1320)
10
(216/1320)
11
(270/1320)
12
(330/1320)

Da Kandidat[in] 1 nur bei einem ungeraden Zug und Kandidat[in] 2 nur bei einem geraden Zug gewinnen kann, ergibt sich daher:

P(Kandidat[in] 1 gewinnt) = (570/1320) und

P(Kandidat[in] 2 gewinnt) = (750/1320).

Enthält das Spielfeld jedoch vier Münzen und acht Nieten, so ist die Chance, bereits beim dritten Zug die dritte Münze zu erhalten,
P(X = 3) = (4/12).(3/11).(2/10) = (1/55).
Benötigt man in diesem Fall insgesamt vier Züge, so muss wiederum der Umstand, daß die einzige Niete bei einem der ersten drei Züge gezogen werden muss, berücksichtigt werden. Es gilt daher:
P(X = 4) = (8/12).(4/11).(3/10).(2/9).3 = (8/165).
Sind also auf dem 4 x 3 - Spielfeld genau vier Münzen und acht Nieten versteckt, so gilt für die Verteilung der Zufallsvariablen "Ziehungen bis zum Erreichen der dritten Münze":

Formel 02

Da das zweite Produkt für i = 3 den Wert 1 besitzen muss, wird bei diesem die Hilfsfunktion

Formel 03

verwendet.

Bezeichnet man allgemein mit m die Anzahl der Münzen und mit n die Anzahl der Nieten auf dem 4 x 3 - Spielfeld (d.h. m + n = 12) sowie mit i die Zahl jenes Zuges, der zum dritten "Philharmoniker" führt, so gilt:

Formel 04

mit

Formel 05.

Dies führt zu folgender Gewinntabelle für die beiden Kandidat[inn]en:

Gewinn beim Ziehen der dritten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(19/44)
3
(25/44)
(17/33)
4
(16/33)
(1/2)
5
(1/2)
(118/231)
6
(113/231)
(137/264)
7
(127/264)
(89/165)
8
(76/165)
(63/110)
9
(47/110)
(7/11)
10
(4/11)
(3/4)
11
(1/4)
1
12
0

Fazit: Wird das Spiel mit dem Ziehen der dritten Münze gewonnen,
so ist das Spiel bei fünf Münzen und sieben Nieten fair.

Bleibt zum Schluss noch die Frage, ob ein Gewinn beim Ziehen der zweiten, vierten, fünften, ... Münze das Spiel fair machen kann.

Wird das Spiel bereits mit dem Ziehen der zweiten Münze gewonnen, so kann die gewinnbringende Münze logischerweise bereits mit dem zweiten Zug gezogen werden. Gleichzeitig muß bei insgesamt drei Zügen eine Niete bei einem der ersten beiden Züge aufgedeckt worden sein.
Es gilt daher für die Zufallsvariable "Ziehungen zum Erreichen der zweiten Münze" für ein 4 x 3 - Spielfeld mit

a.
drei Münzen und neun Nieten:
 
Formel 06
 
mit
 
Formel 07
b.
vier Münzen und acht Nieten:
 
Formel 08
 
mit
 
Formel 09
c.
m Münzen und n Nieten:
 
Formel 10
 
mit
 
Formel 11



Daraus ergibt sich folgende Gewinntabelle für die beiden Kandidat[inn]en:

Gewinn beim Ziehen der zweiten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(5/11)
2
(6/11)
(1/2)
3
(1/2)
(16/33)
4
(17/33)
(47/99)
5
(52/99)
(211/462)
6
(251/462)
(19/44)
7
(25/44)
(196/495)
8
(299/495)
(19/55)
9
(36/55)
(3/11)
10
(8/11)
(1/6)
11
(5/6)
0
12
1

Kann das Spiel mit dem Ziehen der p-ten Münze (1 ≤ p ≤ 12) gewonnen werden, so werden zum einen mindestens p Züge benötigt, zum anderen gibt es bei insgesamt p + 1 nötigen Zügen genau Formel 12 = p Möglichkeiten, die einzige Niete auf die ersten p Züge zu verteilen, bei insgesamt p + 2 Zügen genau Formel 13 Möglichkeiten, die beiden Nieten auf die ersten p + 1 Züge zu verteilen ...

Dies liefert für die Zufallsvariable "Ziehungen zum Erreichen der p-ten Münze" für ein 4 x 3 - Spielfeld mit genau m Münzen und n Nieten die Verteilung

Formel 14

mit der Indikatorfunktion

Formel 15

und für die beiden Kandidat[inn]en folgende - noch ausstehende - Gewinntabellen:

Gewinn beim Ziehen der ersten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(1/2)
1
(1/2)
(6/11)
2
(5/11)
(25/44)
3
(19/44)
(59/99)
4
(40/99)
(62/99)
5
(37/99)
(305/462)
6
(157/462)
(553/792)
7
(239/792)
(367/495)
8
(128/495)
(87/110)
9
(23/110)
(28/33)
10
(5/33)
(11/12)
11
(1/12)
1
12
0

Gewinn beim Ziehen der vierten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(40/99)
4
(59/99)
(52/99)
5
(47/99)
(113/231)
6
(118/231)
(1/2)
7
(1/2)
(16/33)
8
(17/33)
(26/55)
9
(29/55)
(14/33)
10
(19/33)
(1/3)
11
(2/3)
0
12
1

Gewinn beim Ziehen der fünften Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(37/99)
5
(62/99)
(251/462)
6
(211/462)
(127/264)
7
(137/264)
(17/33)
8
(16/33)
(1/2)
9
(1/2)
(6/11)
10
(5/11)
(7/12)
11
(5/12)
1
12
0

Gewinn beim Ziehen der sechsten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(157/462)
6
(305/462)
(25/44)
7
(19/44)
(76/165)
8
(89/165)
(29/55)
9
(26/55)
(5/11)
10
(6/11)
(1/2)
11
(1/2)
0
12
1

Gewinn beim Ziehen der siebten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(239/792)
7
(553/792)
(299/495)
8
(196/495)
(47/110)
9
(63/110)
(19/33)
10
(14/33)
(5/12)
11
(7/12)
1
12
0

Gewinn beim Ziehen der achten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(128/495)
8
(367/495)
(36/55)
9
(19/55)
(4/11)
10
(7/11)
(2/3)
11
(1/3)
0
12
1

Gewinn beim Ziehen der neunten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(23/110)
9
(87/110)
(8/11)
10
(3/11)
(1/4)
11
(3/4)
1
12
0

Gewinn beim Ziehen der zehnten Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(5/33)
10
(28/33)
(5/6)
11
(1/6)
0
12
1

Gewinn beim Ziehen der elften Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
(1/12)
11
(11/12)
1
12
0

Gewinn beim Ziehen der zwölften Münze:

Kandidat[in] 1
Anzahl der Münzen
Kandidat[in] 2
 
 
 
0
12
1

Money Maker

Ein Hinweis:

Bis zum Jahr 2017 wurde das Spiel auf einem 3 x 3 - Spielfeld durchgeführt.
Allerdings gibt es bei einem 3 x 3 - Spielfeld keine Münzzahl, mit der das Spiel fair gestaltet werden kann.
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