Money Maker


In der Sendung "Money Maker" konnten von 1996 bis 2019 in den Sommermonaten Juli und August im TV-Vorabendprogramm zwei Kandidat*inn*en um den Gewinn eines "Wiener Philharmonikers" spielen.
Dabei rubbeln beide Kandidat*inn*en virtuell abwechselnd jeweils ein Feld eines 4 x 3 - Spielfeldes, das symbolische Münzen und Nieten enthält, auf.
Es gewinnt jene*r Kandidat*in, der/die zuerst die dritte Münze auf dem Spielfeld erwischt. Es stellt sich nun die Frage:

Ist dieses Spiel fair, d.h. hat jede[r] der beiden Kandidat[inn]en eine Gewinnchance von 50 % ?

Enthält das Spielfeld etwa drei Münzen und neun Nieten, so beträgt die Chance, bereits beim dritten Zug die dritte Münze zu erhalten, gerade
P(X = 3) = (3/12) ⋅ (2/11) ⋅ (1/10) = (6/1320).
Benötigt man insgesamt vier Züge, so muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass die einzige Niete bei jedem der ersten drei Züge erwischt werden kann. Es gilt somit:
P(X = 4) = (9/12) ⋅ (3/11) ⋅ (2/10) ⋅ (1/9) ⋅ 3 = (3/12) ⋅ (2/11) ⋅ (1/10) ⋅ 3 = (18/1320).
Im Falle von fünf Zügen gibt es bereits sechs Möglichkeiten, die nunmehr zwei vorhandenen Nieten auf die ersten vier Züge zu verteilen (das Verfahren erinnert stark an die geometrische bzw. an die PASCAL-Verteilung, wenngleich im Unterschied zu diesen beiden Verteilungen keine "Gedächtnislosigkeit" vorliegt).
Dadurch erhält man:
P(X = 5) = (9/12) ⋅ (8/11) ⋅ (3/10) ⋅ (2/9) ⋅ (1/8) ⋅ 6 = (3/12) ⋅ (2/11) ⋅ (1/10) ⋅ 6 = (36/1320).
Besitzt also das Spielfeld genau drei Münzen und neun Nieten, so hat die Zufallsvariable "Ziehungen bis zum Erreichen der dritten Münze" die Verteilung

Formel 1

Dies führt zu folgender Gewinntabelle:

Zug Gewinnchance
3 6 : 1320
4 18 : 1320
5 36 : 1320
6 60 : 1320
7 90 : 1320
8 126 : 1320
9 168 : 1320
10 216 : 1320
11 270 : 1320
12 330 : 1320

Da Kandidat*in 1 nur bei einem ungeraden Zug und Kandidat*in 2 nur bei einem geraden Zug gewinnen kann, ergibt sich daher:

P(Kandidat*in 1 gewinnt) = (570/1320) und

P(Kandidat*in 2 gewinnt) = (750/1320).

Enthält das Spielfeld jedoch vier Münzen und acht Nieten, so ist die Chance, bereits beim dritten Zug die dritte Münze zu erhalten,
P(X = 3) = (4/12) ⋅ (3/11) ⋅ (2/10) = (1/55).
Benötigt man in diesem Fall insgesamt vier Züge, so muss wiederum der Umstand, daß die einzige Niete bei einem der ersten drei Züge gezogen werden muss, berücksichtigt werden. Es gilt daher:
P(X = 4) = (8/12) ⋅ (4/11) ⋅ (3/10) ⋅ (2/9) ⋅ 3 = (8/165).
Sind also auf dem 4 x 3 - Spielfeld genau vier Münzen und acht Nieten versteckt, so gilt für die Verteilung der Zufallsvariablen "Ziehungen bis zum Erreichen der dritten Münze":

Formel 2

Da das zweite Produkt für i = 3 den Wert 1 besitzen muss, wird bei diesem die Hilfsfunktion

Formel 3

verwendet.

Bezeichnet man allgemein mit m die Anzahl der Münzen und mit n die Anzahl der Nieten auf dem 4 x 3 - Spielfeld (d.h. m + n = 12) sowie mit i die Zahl jenes Zuges, der zum dritten "Philharmoniker" führt, so gilt:

Formel 4

mit

Formel 5.

Dies führt zu folgender Gewinntabelle für die beiden Kandidat[inn]en:

Gewinn beim Ziehen der dritten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
19 : 44 3 25 : 44
17 : 33 4 16 : 33
1 : 2 5 1 : 2
118 : 231 6 113 : 231
137 : 264 7 127 : 264
89 : 165 8 76 : 165
63 : 110 9 47 : 110
7 : 11 10 4 : 11
3 : 4 11 1 : 4
1 12 0

Fazit: Wird das Spiel mit dem Ziehen der dritten Münze gewonnen,
so ist das Spiel bei fünf Münzen und sieben Nieten fair.

Bleibt zum Schluss noch die Frage, ob ein Gewinn beim Ziehen der zweiten, vierten, fünften, ... Münze das Spiel fair machen kann.

Wird das Spiel bereits mit dem Ziehen der zweiten Münze gewonnen, so kann die gewinnbringende Münze logischerweise bereits mit dem zweiten Zug gezogen werden. Gleichzeitig muß bei insgesamt drei Zügen eine Niete bei einem der ersten beiden Züge aufgedeckt worden sein.
Es gilt daher für die Zufallsvariable "Ziehungen zum Erreichen der zweiten Münze" für ein 4 x 3 − Spielfeld mit

  1. drei Münzen und neun Nieten:

    Formel 6
    mit
    Formel 7

  2. vier Münzen und acht Nieten:

    Formel 8
    mit
    Formel 9

  3. m Münzen und n Nieten:

    Formel 10
    mit
    Formel 11

Daraus ergibt sich folgende Gewinntabelle für die beiden Kandidat[inn]en:

Gewinn beim Ziehen der zweiten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
5 : 11 2 6 : 11
1 : 2 3 1 : 2
16 : 33 4 17 : 33
44 : 99 5 55 : 99
211 : 462 6 251 : 462
19 : 44 7 25 : 44
196 : 495 8 299 : 495
19 : 55 9 36 : 55
3 : 11 10 8 : 11
1 : 6 11 5 : 6
0 12 1

Kann das Spiel mit dem Ziehen der p-ten Münze (1 ≤ p ≤ 12) gewonnen werden, so werden zum einen mindestens p Züge benötigt, zum anderen gibt es bei insgesamt p + 1 nötigen Zügen genau Formel 12 = p Möglichkeiten, die einzige Niete auf die ersten p Züge zu verteilen, bei insgesamt p + 2 Zügen genau Formel 13 Möglichkeiten, die beiden Nieten auf die ersten p + 1 Züge zu verteilen ...

Dies liefert für die Zufallsvariable "Ziehungen zum Erreichen der p-ten Münze" für ein 4 x 3 − Spielfeld mit genau m Münzen und n Nieten die Verteilung

Formel 14

mit der Indikatorfunktion

Formel 15

und für die beiden Kandidat*inn*en folgende − noch ausstehende − Gewinntabellen:

Gewinn beim Ziehen der ersten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
1 : 2 1 1 : 2
6 : 11 2 5 : 11
25 : 44 3 19 : 44
55 : 99 4 44 : 99
62 : 99 5 37 : 99
305 : 462 6 157 : 462
553 : 792 7 239 : 792
367 : 495 8 128 : 495
87 : 110 9 23 : 110
28 : 33 10 5 : 33
11 : 12 11 1 : 12
1 12 0

Gewinn beim Ziehen der vierten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
40 : 99 4 59 : 99
52 : 99 5 47 : 99
113 : 231 6 118 : 231
1 : 2 7 1 : 2
16 : 33 8 17 : 33
26 : 55 9 29 : 55
19 : 33 10 14 : 33
1 : 3 11 2 : 3
0 12 1

Gewinn beim Ziehen der fünften Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
37 : 99 5 62 : 99
251 : 462 6 211 : 462
127 : 264 7 137 : 264
17 : 33 8 16 : 33
1 : 2 9 1 : 2
6 : 11 10 5 : 11
7 : 12 11 5 : 12
1 12 0

Gewinn beim Ziehen der sechsten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
157 : 462 6 305 : 462
25 : 44 7 19 : 44
76 : 165 8 89 : 165
29 : 55 9 26 : 55
5 : 11 10 6 : 11
1 : 2 11 1 : 2
0 12 1

Gewinn beim Ziehen der siebten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
239 : 792 7 553 : 792
299 : 495 8 196 : 495
47 : 110 9 63 : 110
19 : 33 10 14 : 33
5 : 12 11 7 : 12
1 12 0

Gewinn beim Ziehen der achten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
128 : 495 8 367 : 495
36 : 55 9 19 : 55
4 : 11 10 7 : 11
2 : 3 11 1 : 3
0 12 1

Gewinn beim Ziehen der neunten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
23 : 110 9 87 : 110
8 : 11 10 3 : 11
1 : 4 11 3 : 4
1 12 0

Gewinn beim Ziehen der zehnten Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
5 : 33 10 28 : 33
5 : 6 11 1 : 6
0 12 1

Gewinn beim Ziehen der elften Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
1 : 12 11 11 : 12
1 12 0

Gewinn beim Ziehen der zwölften Münze:

Kandidat*in 1 Münzen Kandidat*in 2
0 12 1