Themenpool
Bei der mündlichen Reifeprüfung zieht jede*r Prüfungskandidat*in zwei Themenbereiche aus einem zuvor von der jeweiligen Lehrperson erstellten Themenpool. Danach wählt der/die Prüfungskandidat*in einen der beiden gezogenen Themenbereiche aus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nummern der beiden gezogenen Themenbereiche direkt nebeneinander liegen ?
Die folgende Tabelle zeigt alle Auswahlmöglichkeiten für eine Gesamtzahl von fünf Themenbereichen. Dabei sind die Nummern der beiden gezogenen Themenbereiche hellblau und die Anzahl der zwischen diesen beiden Nummern liegenden Zahlen hellgrün unterlegt:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 |
Da die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle spielt, gibt es insgesamt BK(5, 2) = 10 Möglichkeiten, genau zwei (verschiedene) Zahlen zu ziehen.
Ordnet man nun diese Tabelle aufsteigend nach der Anzahl der zwischen den beiden gezogenen Zahlen liegenden Nummern, so erhält man:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 |
Die Übersicht zeigt, dass es bei insgesamt fünf Zahlen genau vier (= 5 − 1) direkt benachbarte Zahlenpaare gibt.
Liegt nun genau eine Nummer zwischen den beiden gezogenen Zahlen, so kann dies mit einer um 1 verringerten Gesamtzahl aller Zahlen gleichgesetzt werden. Dazu wird die ursprünlich zwischen den beiden gezogenen Zahlen liegende Nummer "gedanklich entfernt".
Somit erhält man bei insgesamt fünf Zahlen genau drei (= 5 − 1 − 1) Zahlenpaare, zwischen denen sich genau eine Nummer befindet.
Bezeichnet man also mit k die Anzahl der Nummern, die zwischen den beiden gezogenen Zahlen liegen, so gibt es genau 5 − 1 − k Zahlenpaare, die diese Eigenschaft erfüllen. Es gilt dabei: 0 ≤ k ≤ 3
Damit erhält man die Verteilung P(X = k) = (5 − 1 − k) ÷ BK(5, 2).
Die folgende Tabelle zeigt diese Verteilung, wobei aus Gründen der Übersichtlichkeit auf das Kürzen der Brüche verzichtet wird:
| k | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 4 ÷ 10 |
| 1 | 3 ÷ 10 |
| 2 | 2 ÷ 10 |
| 3 | 1 ÷ 10 |
Es ist gut erkennbar, dass die Wahrscheinlichkeit P(X = 0) am größten ist und die Zähler der einzelnen Wahrscheinlichkeiten eine monoton fallende arithmetische Folge mit der Differenz d = − 1 bilden.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten liefert den Wert 1, denn es gilt:
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) =
= 4 ÷ 10 + 3 ÷ 10 + 2 ÷ 10 + 1 ÷ 10 =
= (4 + 3 + 2 + 1) ÷ 10 = 1
Besteht nun der Themenpool aus insgesamt n Themenbereichen, so gibt es für 0 ≤ k ≤ n − 2 genau n − 1 − k Zahlenpaare, zwischen denen sich exakt k Nummern befinden.
Die Verteilung lautet in diesem Fall P(X = k) = (n − 1 − k) ÷ BK(n, 2)
Auch in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit P(X = 0) am größten und die Zähler der einzelnen Wahrscheinlichkeiten bilden wiederum eine monoton fallende arithmetische Folge mit der Differenz d = − 1.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten liefert ebenfalls wieder den Wert 1, denn es gilt aufgrund der Gleichung BK(n, 2) = [n ⋅ (n − 1)] ÷ 2:
P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = n − 2) =
= [(n − 1) ÷ BK(n, 2)] + [(n − 2) ÷ BK(n, 2)] + ... + [1 ÷ BK(n, 2)] =
= [(n − 1) + (n − 2) + ... + 1] ÷ BK(n, 2) =
= {[n ⋅ (n − 1)] ÷ 2} ÷ {[n ⋅ (n − 1)] ÷ 2} = 1
Dies bedeutet, dass − unabhängig von der Gesamtzahl der Themenbereiche − die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Zahlen direkt benachbart sind, am größten ist.
Da die Themenbereiche häufig nach Schulstufen geordnet sind, zieht ein*e Prüfungskandidat*in in der Praxis somit sehr oft zwei Themenbereiche aus der gleichen Schulstufe oder zumindest aus zwei benachbarten Schulstufen.