Primzahl
P
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen - nämlich die Zahl 1 und sich selbst - als Teiler besitzt.
Das Wort "Primzahl" kommt aus dem Französischen (nombre premier) und bedeutet "die erste Zahl".
Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für zahlreiche Bereiche der Mathematik beruht insbesondere auf folgenden Eigenschaften:
- Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.
- Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der beiden Faktoren durch sie teilbar.
- Jede natürliche Zahl lässt sich - bis auf die Reihenfolge der Faktoren - eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
- prim, wenn sie eine Primzahl ist.
- zusammengesetzt, wenn sie keine Primzahl ist.
Eine erste praktische Anwendung der Primzahlen findet sich in der Primfaktorenzerlegung: Anhand einer Primfaktorenzerlegung läßt sich erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, ferner können der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) leicht aus der Primfaktorenzerlegung bestimmt werden.
In der Bruchrechnung können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden, umgekehrt ist eine Addition bzw. Subtraktion zweier Brüche durch Erweitern mit Hilfe des kgV möglich.
Eine ungleich wichtigere Rolle spielen die Primzahlen in der Kryptographie: Die heute verwendeten - und nötigen - Ver- und Entschlüsselungssysteme beruhen auf der Schwierigkeit, möglichst große Zahlen in kurzer Zeit zu faktorisieren, d.h. in mögliche Primfaktoren zu zerlegen.
So ist es zwar innerhalb weniger Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren, jedoch nimmt die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 999- oder 1000-stelligen Produkt eine enorme Zeit in Anspruch.
Warum ist 1 keine Primzahl ?
Die einfachste Antwort auf diese Frage folgt unmittelbar aus der Definition: Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie durch genau zwei natürliche Zahlen teilbar ist.
Die Zahl 1 ist jedoch nur durch eine natürliche Zahl, nämlich die Zahl 1 selbst, teilbar.
Die Frage, ob 1 eine Primzahl ist, ist aber letztlich keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder nicht zweckmäßig.
In der Geschichte der Mathematik wurde die Zahl 1 von manchen Mathematikern als Primzahl betrachtet, von anderen nicht.
Beispielsweise zählt Leonhard EULER in seiner Algebra (1770) die Zahl 1 nicht als Primzahl, hingegen enthält eine Liste von Primzahlen, die 1914 von Derrick Norman Lehmer veröffentlicht wurde, die Zahl 1 als Primzahl.
Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat es sich jedoch durchgesetzt, die Zahl 1 nicht als Primzahl anzusehen.
Zum Abschluß dieses Artikels eine Übersicht, die eine kleine Gegenüberstellung zwischen der Primzahleigenschaft der Zahl 1 und der damit verbundenen Auswirkungen der Eigenschaften aller möglichen Primzahlen enthält:
| 1 ist keine Primzahl | 1 ist eine Primzahl | |
|---|---|---|
| Anzahl der Primzahlen | Es gibt unendlich viele Primzahlen. | 1 ist die einzige Primzahl, da jede andere Zahl den Primteiler 1 hat (Primzahlen haben keine Teiler). |
| Eindeutige Zerlegung | Jede natürliche Zahl lässt sich - bis auf die Reihenfolge - eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. | Jede natürliche Zahl besitzt mehrere Primfaktoren-zerlegungen, z.B. 15 = 3 ⋅ 5 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 = ... |
| Produkt von Primzahlen | Das Produkt zweier Primzahlen ist niemals eine Primzahl, sondern stets zusammengesetzt. | Das Produkt zweier Primzahlen kann selbst eine Primzahl sein, z.B. 1 ⋅ 7 = 7 |