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GRÖSSTE PRIMZAHL

Bisher größte Primzahl entdeckt
Mittwoch, 21.11.2018, 09:55 Uhr
Die vermutlich am häufigsten gestellte Frage beim Lotto "6 aus 45" lautet:

"Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man mit einem Lotto-Tipp sechs Richtige ?"

"Sechs Richtige" hat ein Spielteilnehmer genau dann, wenn die sechs in einem Lotto-Tipp angekreuzten Zahlen mit den sechs bei einer Lotto-Ziehung ermittelten Gewinnzahlen übereinstimmen.
Dabei gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, daß die erste gezogene Gewinnzahl mit einer der vom Spielteilnehmer angekreuzten Zahlen übereinstimmt, beträgt (6/45).
Da die Ziehung der Gewinnzahlen ohne Zurücklegen erfolgt, ist die Chance, daß die zweite Gewinnzahl angekreuzt wurde, (5/44).

Aufgrund der Multiplikationsregel erhält man daher:

P(sechs richtige Gewinnzahlen) =
= (6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(1/40) =
= (1/8145060) = 0,00001228 %.

"Fünf Richtige" hat ein Spielteilnehmer genau dann, wenn exakt fünf der sechs Gewinnzahlen angekreuzt wurden.
Für die Zugfolge TTTTTN (T für Treffer, N für Niete) ergibt sich somit:

P(Zugfolge TTTTTN) = (6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(39/40) =
= (39/8145060) = 0,0004788 %

Da es 6 verschiedene Zugfolgen mit genau 5 Treffern und 1 Niete (z.B. TTNTTT oder TTTTNT) gibt und jede dieser Zugfolgen (aufgrund der kommutativen Multiplikation) die gleiche Wahrscheinlichkeit wie die Zugfolge TTTTTN besitzt, erhält man

P(fünf richtige Gewinnzahlen) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(39/40) =
= (234/8145060) = 0,002873 %.

Analog ergeben sich:

P(vier richtige Gewinnzahlen) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(39/41).(38/40) =
= (11115/8145060) = 0,136 %

P(drei richtige Gewinnzahlen) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(39/42).(38/41).(37/40) =
= (182780/8145060) = 2,244 %

P(zwei richtige Gewinnzahlen) =
= 15.(6/45).(5/44).(39/43).(38/42).(37/41).(36/40) =
= (1233765/8145060) = 15,147 %

P(eine richtige Gewinnzahl) =
= 6.(6/45).(39/44).(38/43).(37/42).(36/41).(35/40) =
= (3454542/8145060) = 42,413 %

P(keine richtige Gewinnzahl) =
= (39/45).(38/44).(37/43).(36/42).(35/41).(34/40) =
= (3262623/8145060) = 40,056 %

Dabei fällt auf, daß

P(eine richtige Gewinnzahl) > P(keine richtige Gewinnzahl)

gilt, d.h. beim Lotto "6 aus 45" ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Lotto-Tipp genau eine Gewinnzahl angekreuzt zu haben, größer als die Wahrscheinlichkeit, keine der sechs Gewinnzahlen angekreuzt zu haben.

Nach den sechs Gewinnzahlen wird bei jeder Lotto-Ziehung noch eine siebente Zahl als Zusatzzahl gezogen. Diese Zusatzzahl ist für jene Tippreihen, die mindestens drei und höchstens fünf Übereinstimmungen mit den sechs Gewinnzahlen aufweisen, von Bedeutung.
Ist nämlich die sechste vom Spielteilnehmer angekreuzte Zahl mit der Zusatzzahl ident, so ist nicht nur der Gewinnrang, sondern im allgemeinen auch der Gewinn selbst höher.

Befinden sich in einem Lotto-Tipp nach Ziehung der sechs Gewinnzahlen genau fünf Richtige, so ist die Chance, daß die sechste angekreuzte Zahl der Zusatzzahl entspricht, gerade (1/40).

Es gilt daher:

P(fünf richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(1/40) =
= (6/8145060) = 0,00007336 %.

Gleichzeitig ist die Chance, daß bei fünf Richtigen in einem Tipp die sechste angekreuzte Zahl nicht der Zusatzzahl entspricht, gerade (38/40) womit in diesem Fall

P(fünf richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(38/40) =
= (228/8145060) = 0,00279924 %.

gilt.

In ähnlicher Weise erhält man daher:

P(vier richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(1/41).(38/40).2 =
= (570/8145060) = 0,00699811 %.

P(vier richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(38/41).(37/40) =
= (10545/8145060) = 0,12946498 %.


P(drei richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(1/42).(38/41).(37/40).3 =
= (14060/8145060) = 0,17261997 %.

P(drei richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(38/42).(37/41).(36/40) =
= (168720/8145060) = 2,07143962 %.


P(keine richtige Gewinnzahl, aber Zusatzzahl) =
= 6.(1/45).(38/44).(37/43).(36/42).(35/41).(34/40) =
= (501942/8145060) = 6,16253287 %.


Damit erhält man folgende Gewinntabelle für das Lotto "6 aus 45":

P(6 richtige Gewinnzahlen)
0,00001228 %
P(5 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,00007366 %
P(5 richtige Gewinnzahlen)
0,00279924 %
P(4 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,00699811 %
P(4 richtige Gewinnzahlen)
0,13 %
P(3 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,173 %
P(3 richtige Gewinnzahlen)
2,0713 %
P(richtige Zusatzzahl)
6,163 %
Gewinntabelle
Ein nettes Detail
"am Rande":

"6 aus 45" ist ein Paradebeispiel für das "Ziehen ohne Zurücklegen", weshalb in diesem Fall auch die hypergeometrische Verteilung verwendet werden kann.

Für die Chancenberechnungen aller Gewinnklassen, bei denen die Zusatzzahl keine Rolle spielt, kann die standardmäßige hypergeometrische Verteilung verwendet werden.
Bezeichnet man mit BK(n,k) den Binomialkoeffienten "n über k", so gibt es etwa BK(6,4).BK(39,2) Möglichkeiten, genau 4 richtige Gewinnzahlen (ohne Zusatzzahl) zu erhalten.

Da die Gesamtzahl aller Möglichkeiten gleich BK(45,6) ist, ergibt sich somit eine Wahrscheinlichkeit von 0,12946498 %.
Bei dieser Rechnung werden die insgesamt 45 Zahlen in zwei Gruppen eingeteilt:
Die erste Gruppe besteht aus den 6 getippten Zahlen, von denen genau 4 gezogen werden, die zweite Gruppe aus den 39 nicht getippten Zahlen, von denen genau 2 gezogen werden.

Für die Chancenberechnungen aller Gewinnklassen, bei denen die Zusatzzahl eine Rolle spielt, kann die hypergeometrische Verteilung wie folgt erweitert werden:

Die insgesamt 45 Zahlen werden in drei Gruppen unterteilt:
Die erste Gruppe besteht aus den 6 getippten Zahlen, die zweite Gruppe aus 38 der 39 nicht getippten Zahlen und die dritte Gruppe nur aus der Zusatzzahl.
Da die Zusatzzahl nur auf BK(1,1) = 1 Möglichkeit ausgewählt werden kann, gibt es für genau 4 richtige Gewinnzahlen (mit Zusatzzahl) insgesamt BK(6,4).BK(38,1) Möglichkeiten.
Und dies liefert bei einer Gesamtzahl von BK(45,6) Möglichkeiten eine Wahrscheinlichkeit von 0,00699811 %.

Somit erhält man auf eine zweite Art die am Schluss des Hauptdokumentes angegebene Gewinntabelle.

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